Statistical Learning for Spatial data : theory and practice - Département Image, Données, Signal
Thèse Année : 2024

Statistical Learning for Spatial data : theory and practice

Apprentissage Statistique pour les données Spatiales : théorie et algorithmes

Résumé

In the Big Data era, massive datasets exhibiting a possibly complex spatial dependence structure are becoming increasingly available. In this thesis, we aim at developing approaches to efficiently exploit the dependence structure of spatial (and spatio-temporal) data.We first analyze the simple Kriging task, the flagship problem in Geostatistics, from a statistical learning perspective, i.e. by carrying out a non-parametric finite-sample predictive analysis. In this context, the standard probabilistic theory of statistical learning does not apply directly and theoretical guarantees of the generalization capacity of the Kriging predictive rule learned from spatial data are left to be established. Given a finite number of values taken by a realization of a square integrable random field, with unknown covariance structure, the goal is to predict the unknown values that the random field takes at any other location in the spatial domain with minimum quadratic risk. Establishing the generalization capacity of empirical risk minimizer is far from straightforward, due to the non independent and identically distributed nature of the training data involved in the learning procedure. In the first part of this thesis, non-asymptotic bounds are proved for the excess risk of a plug-in predictive rule mimicking the true minimizer in the case of isotropic stationary Gaussian processes, observed at locations forming a regular grid in the learning stage. These theoretical results, as well as the role played by the technical conditions required to establish them, are illustrated by various numerical experiments, on simulated data and on real-world datasets, and may hopefully pave the way for further developments in statistical learning based on spatial data.In the second part of this thesis, we focus on space-time Hawkes processes. Many modern spatio-temporal data sets, in sociology, epidemiology or seismology, for example, exhibit self-exciting characteristics, with simultaneous triggering and clustering behaviors, that a suitable spatio-temporal Hawkes process can accurately capture.However, dealing efficiently with the high volumes of data now available is challenging.We aim at developing a fast and flexible parametric inference technique to recover the parameters of the kernel functions involved in the intensity function of a spatio-temporal Hawkes process based on such data. Our statistical approach combines three key ingredients: (1) kernels with finite support are considered, (2) the space-time domain is appropriately discretized, and (3) (approximate) precomputations are used. The inference technique we propose consists of a fast and statistically accurate solver.In addition to describing the algorithmic aspects, numerical experiments have been carried out on synthetic and real spatio-temporal data, providing solid empirical evidence of the relevance of the proposed methodology.
À l'époque des grandes données, l'accès à des ensembles de données massives, présentant une structure de dépendance spatiale possiblement complexe, augmente de plus en plus. Dans cette thèse, notre objectif est de surmonter les enjeux liés à la structure de dépendance des données spatiales (et spatio-temporelles). En un premier temps, nous analysons le Krigeage simple, problème clé en Géostatistique, en adoptant le point de vue de l'apprentissage statistique, i.e. en effectuant une analyse prédictive non paramétrique à partir d'un échantillon fini. Dans ce contexte, la théorie probabiliste standard de l'apprentissage statistique ne s'applique pas directement. De nouvelles garanties sur la capacité de généralisation du prédicteur par Krigeage doivent être établies. Étant donné une réalisation d'un champ aléatoire de covariance inconnue, observé en un nombre fini de sites du domaine spatial, l'objectif est de prédire les valeurs inconnues de à n'importe quel point du domaine, tout en minimisant le risque quadratique. En raison du caractère non indépendant et non identiquement distribué des données d'apprentissage, déterminer la capacité de généralisation des minimiseurs de risque empiriques est un défi complexe. Dans la première partie de cette thèse, nous présentons des bornes non asymptotiques pour l'excès de risque d'une règle prédictive plug-in imitant le vrai minimiseur. Ces bornes sont établies pour des processus gaussiens stationnaires avec une fonction de covariance isotrope, observés lors de la phase d'apprentissage à des emplacements formant une grille régulière. Nos résultats théoriques, ainsi que le rôle joué par les conditions techniques requises pour les définir, sont illustrés par diverses expériences numériques, sur des données simulées ainsi que sur des données réelles, et ouvrent, nous l'espérons, la voie à de nouveaux développements dans l'apprentissage statistique basé sur des données spatiales. En un second temps, nous nous concentrons sur les processus de Hawkes spatio-temporels. De nombreux ensembles de données spatio-temporelles, en sociologie, épidémiologie ou sismologie, par exemple, présentent des caractéristiques d'auto-excitation: les événements ont tendance à se regrouper ou à déclencher une série d'événements successifs, ou encore les deux à la fois. Dans ce contexte, les processus de Hawkes spatio-temporels se révèlent être un outil puissant grâce à leur capacité à capturer ces comportements avec précision. Cependant, traiter efficacement le grand volume de données actuellement disponible s'avère difficile. La deuxième partie de cette thèse vise à développer une technique d'inférence paramétrique rapide et flexible pour obtenir les paramètres des fonctions noyaux impliquées dans la fonction d'intensité d'un processus de Hawkes spatio-temporel. Notre approche statistique combine trois ingrédients clés : (1) nous considérons des fonctions noyaux à support, (2) le domaine spatio-temporel est discrétisé de manière appropriée, et (3) des calculs préalables (approximatifs) sont utilisés. La technique d'inférence que nous proposons consiste en un solveur rapide et statistiquement précis. En complément de la description des aspects algorithmiques, des expériences numériques ont été menées sur des données spatio-temporelles, tant synthétiques que réelles, apportant des preuves empiriques solides de la pertinence de la méthodologie proposée.
Fichier principal
Vignette du fichier
127227_SIVIERO_2024_archivage.pdf (11.98 Mo) Télécharger le fichier
Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04880434 , version 1 (10-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04880434 , version 1

Citer

Emilia Siviero. Statistical Learning for Spatial data : theory and practice. Data Structures and Algorithms [cs.DS]. Institut Polytechnique de Paris, 2024. English. ⟨NNT : 2024IPPAT032⟩. ⟨tel-04880434⟩
0 Consultations
0 Téléchargements

Partager

More